Python实现斐波那契数列

斐波那契数列（Fibonacci）最早由印度数学家Gopala提出，而第一个真正研究斐波那契数列的是意大利数学家 Leonardo Fibonacci，斐波那契数列的定义很简单，用数学函数可表示为：

数列从0和1开始，之后的数由前两个数相加而得出，例如斐波那契数列的前10个数是：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34。

用 Python 实现斐波那契数列常见的写法有三种，各算法的执行效率也有很大差别，在面试中也会偶尔会被问到，通常面试的时候不是让你简单的用递归写写就完了，还会问你时间复杂度怎样，空间复杂度怎样，有没有可改进的地方。

递归

所谓递归就是指函数的定义中使用了函数自身的方法

def fib_recur(n):
    assert n >= 0
    if n in (0, 1):
        return n
    return fib_recur(n - 1) + fib_recur(n - 2)

for i in range(20):
    print(fib_recur(i), end=" ")

>>> 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 

递归是一种代码最简洁的方法，但它是效率非常低，因为会出现大量的重复计算，时间复杂度是：O(1.618 ^ n)，1.618是黄金分割。同时受限于 Python 中递归的最大深度是 1000，所以用递归来求解并不是一种可取的办法。

递推法

递推法就是从0和1开始，前两项相加逐个求出第3、第4个数，直到求出第n个数的值

def fib_loop(n):
    a, b = 0, 1
    for i in range(n):
        a, b = b, a + b
    return a

for i in range(20):
    print(fib_loop(i), end=" ")

>>> 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 

这种算法的时间复杂是O(n)，呈线性增长，如果数据量巨大，速度越到后面会越慢。

上面两种方式都是使用分而治之的思想，就是把一个大的问题化小，然后利用小问题的求解得到目标问题的答案。

矩阵

《线性代数》是大学计算机专业低年级的课程，这门课教的就是矩阵，那时候觉得这东西学起来很枯燥，没什么用处，工作后你才发现搞机器学习、数据分析、数据建模时大有用处，书到用时方恨少。其实矩阵的本质就是线性方程式。

斐波那契数列中两个相邻的项分别为：F(n) 和 F(n - 1)，如果把这两个数当作一个2行1列的矩阵可表示为：

因为 F(n) = F(n-1)+F(n-2)，所以就有：

通过反推，其实它是两个矩阵的乘积得来的

依此类推：

最后可推出：

因此想要求出F(n)的值，只要能求出右边矩阵的n-1次方的值，最后求得两矩阵乘积，取新矩阵的第一行的第一列的值即可，比如n=3时，

​可以得知F(3)的值2，F(2)的值为1，因为幂运算可以使用二分加速，所以矩阵法的时间复杂度为 O(log n)

我们可以用科学计算包 numpy 来实现矩阵法：

import numpy

def fib_matr(n):
    return (numpy.matrix([[1, 1], [1, 0]]) ** (n - 1) * numpy.matrix([[1], [0]]))[0, 0]

for i in range(20):
    print(int(fib_matr(i)), end=" ")

>>> 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181

3中不同的算法效率对比：

从上面图可以看出递归法效率惊人的低，矩阵法在数据量比较大的时候才突显出它的优势，递推法随着数据的变大，所花的时间也越来越大。

参考链接：

https://www.ted.com/talks/arthur_benjamin_the_magic_of_fibonacci_numbers?language=zh-cn#t-364274
https://www.zhihu.com/question/28062458
https://www.nayuki.io/page/fast-fibonacci-algorithms
http://www.ruanyifeng.com/blog/2015/09/matrix-multiplication.html